La somme des n premiers entiers

Publié le par Benjamin

Pendant que personne ne lit, je vais aller braconner un peu sur les terres mathématiques. Plus jeune (je suis toujours jeune, mais moins) j'ai eu du mal à mémoriser la formule pour la somme des n premiers entiers: 1+2+3+...+n. Marqué au fer rouge, je me rappelle que cette somme vaut n(n+1)/2, et qu'elle se démontre par récurrence. Le problème de la démonstration par récurrence, c'est qu'il faut déjà savoir ce que l'on cherche. Comment je fais, moi, si j'oublie la formule magique, et si un complot me renvoie sur les bancs de l'école? Heureusement, j'ai découvert une solution très simple dans "la formule préférée du professeur", un roman japonais mettant en scène une jeune femme et son fils qui partent à la découverte des mathématiques avec un vieux professeur privé de mémoire à long terme (un ressort classique dans les films comme dans les romans).

Imaginons une pile d'oranges, ou plutôt de goyaves: une tout en haut, deux en dessous, puis trois, puis quatre... Si la pile fait n étages, le nombre de fruits qu'elle contient est la somme des n premiers entiers. Je représente ci-dessous quatre étages de goyaves (en rouge), ce qui nous fait 1+2+3+4=10 fruits. A partir de cette représentation, comment déduire la formule qui donne le nombre de goyaves en fonction du nombre de rangées (n)?

L'astuce, c'est d'imaginer les goyaves qui manquent pour dessiner un carré (ici en rouge pâle). Ce carré, qui a pour côté n (goyaves), a donc pour aire n² (goyaves carrées). Si on le coupe en deux par la diagonale (trait noir), on obtient un triangle qui contient n²/2 goyaves, mais il nous manque la moitié des goyaves de la pile du bas qui font pourtant partie de la somme recherchée. On rajoute donc n/2 pour obtenir le nombre de goyaves de la pile, pardon, la somme des n premiers entiers, qui fait bien n²/2 + n/2 = (n²+n)/2 = n(n+1)/2.

Publié dans Divers Sciences

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julien 24/09/2010



Ca me parait super compliqué ta méthode par rapport à la vision "standard" :  tu additionnes la somme 1+2+3+...+n et la suite n+...+3+2+1 terme à terme, chacune des n sommes étant égale à
n+1, et tu divises par 2 parce que tu as mis deux fois la somme (une fois dans un sens une fois dans l'autre).



Thomas 24/09/2010



Il y a aussi la méthode avec laquelle Gauss avait, selon la légende, étonné sa prof qui lui avait demandé de la calculer pour gagner un peu de temps : écrire deux fois la somme, une fois à
l'endroit, et juste au dessous à l'envers, et additionner les deux :


  1   + 2   + 3   + ... + N-1 + N
+ N   + N-1 + N-2 + ... + 2   + 1
===================================
  N+1 + N+1 + N+1 + ... + N+1 + N+1
=
N * N+1


Plus qu'à diviser par deux pour obtenir le résultat ...



Benjamin 24/09/2010



@ tous : merci pour vos commentaires ; je m'incline devant l'élégance de vos solutions, mais je tiens toujours à ma petite représentation graphique ^^


J'ai d'ailleurs réfléchi à l'étendre à la somme des carrés des n premiers entiers en empilant une tomate sur 4 sur 9, etc. mais ça n'a pas l'air de fonctionner.


@ Jack : pourquoi différencier pair et impair? s'il y a n termes dont la valeur moyenne est (n+1)/2, la somme vaut n(n+1)/2 de toutes façons, non? 



jack 25/09/2010



Oui t'as biensur tout a fait raison, j'ai juste fait ca parce qu'on est en entier alors autant laisser les sous-étapes dans les entiers et surtout parcque c'est ce cheminement la que je fais dans
ma tête.







le soleil donne 08/12/2010



1 question en 5 cinq points , alors le 6 est la réponse:
1/3=?
2/3=?
1+2=?
6+3=?
3/3=?
tu dis que 6 & 3 font 9 or 10 or 9.999...? par (1+2)/3
c est ta "vie" non? numéro 6 au carré. tu ne parles pas terrien?

10/3=3 10+10+10=30 3+3+3=9  30/3= 10 ou 9 alors?
1+1+1=3  1/3=0,3  1/3+1/3+1/3 = 1 ou0,9?


 


et si le jeune avait bien fait de ne pas mémoriser? et si l histoire du chinois était comprise par l enfant que le vieil homme n hésitera pas à interroger?


alors quoi? tu sais quelle heure il est? PYTHAGORE est ton idole ? ahahahhaha. pauvre de toi, allez répètes.